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高次のモーメントを直接確率密度関数から導出するのは、
煩雑になるので、モーメント母関数を利用した方がよい、と述べた。 定義について述べるが、テキストによって表記が異なるので、 そして、モーメント母関数を用いても、高次のモーメントを
導出するのが煩雑な場合に、数式処理ソフト「Maxima」を利用して、
これらを計算する為のコマンドラインを載せてみた。
また、モーメント母関数（積率母関数）は、連続型の分布においては、
ある意味において、一種のラプラス変換である、とみなせる。
一方、モーメント母関数（積率母関数）M(θ)の定義式で、
虚数単位iを用いて、変数θをiξに形式的に置き換えた、
特性関数M(ξ)は、連続な確率密度関数f(x)のフーリエ変換になっている。
そして、キュムラント母関数には、モーメント母関数（積率母関数）M(θ)の の二通りの定義が存在することについても述べる。
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そもそも、期待値とは何か、というところから始めることにする。
ある任意の関数φ(x)の「期待値」とは、
その独立変数xの分布が、確率密度関数f(x)に従うとき、
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で定義されるものであるとする。上は離散的な分布の場合、
下は連続的な分布の場合である。ここで、記号Eは、
期待値(expectation value)の頭文字に由来しているが、
テキストにより、鍵括弧の場合と丸括弧の場合があるようだ。
ここでは、鍵括弧の方が見やすいと思うので、こちらを利用する。
また、離散分布の場合は、確率密度関数f(x)は、
単に確率(probability)と呼び、p(x)と表記している文献もある。



次に、本題である、「モーメント（積率）」とは何か。
実は、これには主に「原点周りのモーメント」と「平均値周りのモーメント」の
二通りの場合があり、混乱を招く可能性がある。
先程の期待値の定義において、任意の関数φ(x)が、
冪乗の関数：xnであるとき、その期待値は、
E[xn]と表記できる筈であるが、
これを「原点周りのn次のモーメント（積率）」と呼ぶ。
ここでは、本サイト独自の記号Enを用いて、
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と定義する。先程と同様、上は離散的な分布の場合、
下は連続的な分布の場合である。ここで、E0は全確率の総和なので、
勿論 1 であり、E1は相加平均値のことに他ならない。
だが、平均値に関しては、文献によって、
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等と様々な表記がある。ギリシア文字の「μ」は、
平均値(mean)の頭文字である、ローマ字の「m」に対応しているので、
そのことに因んでいるようだ。離散的な分布の平均値は、
変数の上にバーを付けて表し、連続的な分布の平均値は、
山括弧で変数を括る形で区別しているテキストもあるようだが、
ここでは、E1に統一することにしたい。



続いて、後者の「平均値周りのモーメント」について説明する。
一般的なテキストでは、単にn次のモーメントといった場合、
暗にこちらを指すことが多く、mn等と表記するが、
ここでは、本サイト独自の記号Vnを用いる（理由は後述）。
前述の通り、平均値はE1（これも本サイト独自の記号）
であるので、これを用いて、

と定義する。これまでと同様、
上は離散的な分布の場合、下は連続的な分布の場合である。
ここで、V0は、確率密度関数f(x)に
係る係数が 1 となる為、結局E0と同じであり、
V1は、偏差、或いは、残差の総和に相当するので、0である。
V2は、分散であるが、これも文献によって、

等の様々な表記がある。ローマ字の「s」とギリシア文字の「σ」は、
対応関係にある。これらはどちらも、
標準偏差(standard deviation) の頭文字に因んでおり、
分散が、標準偏差の2乗であることを意味している。また、記号Vを用いたのは、
分散(variance)の頭文字に由来しているからである。
平均値周りの3次のモーメントm3を
標準偏差の3乗σ3で割ったものは、
歪度(skewness)と呼ばれ、分布の左右対称性の目安としてよく使われる。
即ち、歪度：a3は、

と、本サイト独自の記号を用いて表せる。σ3で割る理由は、
分子もσ3のオーダーなので、こうすれば単位によらない
無次元の値になるからである。
また、平均値周りの4次のモーメントm4と
2次のモーメントm2の2乗との比を尖度(kurtosis)という。
即ち、尖度：a4もまた、

と、本サイト独自の記号を用いて表せる。



モーメント母関数（積率母関数）は、
E[eθx]とは、eθxの 期待値という意味である。また、連続型の分布においては、
ある意味において、一種のラプラス変換である、とみなせる。
実際、通常の片側ラプラス変換の積分範囲は、半開区間[0,∞)で、
指数部の符号はマイナスだが、連続な確率密度関数をf(x)に対して、
M(－θ)とすれば、これは、f(x)の 「両側ラプラス変換」である。
このモーメント母関数を原点の周りでテイラー展開（マクローリン展開）すると、

となって、θに関する展開の係数として、
次々に原点周りのn次のモーメント：Enを
生み出す(generate)ので、母関数(generating function)と呼ばれるのである。
即ち、このM(θ)をθでn回微分して、
θ＝0を代入することで、機械的に、原点周りのモーメント：

が得られることを意味している。
平均値周りのモーメントは、それらを用いて、
V2＝E2 －2E1・E1 ＋E12・E0
V3＝E3 －3E1・E2 ＋3E12・E1 －E13・E0
V4＝E4 －4E1・E3 ＋6E12・E2 －4E13・E1 ＋E14・E0
と計算すればよい。



二項分布（ベルヌーイ分布）の確率密度関数をf(x)は、
f(x) ≡ nCx px(1－p)n－x ＝nCx px qn－x qは、最後まで温存しておき、必要に応じて代入する方が望ましいだろう。 紛らわしい場合は、どちらかの変数の文字を適宜変更した方がよいだろう。
を得る。総和は、
E0＝M(0) ＝(pe0＋q)n ＝(p＋q)n＝1n＝1
であり、平均は、

であり、二乗の平均は、

であるから、これらを代入して、分散：
V2＝E2 －2E1・E1 ＋E12・E0 ＝E2－E12
＝n(n－1)p2＋np －n2p2 ＝－np2＋np ＝np(1－p)＝npq
を得る。
モーメント母関数を用いても、二項分布（ベルヌーイ分布）の
3次以上のモーメントを導出するのは、煩雑である。
そこで、数式処理ソフト「Maxima」を利用して、
これらを計算する為のコマンドラインを以下に示す。 多少の修正を施した）を、次の表に示す。 ＋3n(n－1)p2＋np np(1－p)(1－2p) 4次のモーメント n(n－1)(n－2)(n－3)p4
＋6n(n－1)(n－2)p3
＋7n(n－1)p2＋np np(1－p){1+3(n－2)p(1－p)}



ポアソン分布の確率密度関数をf(x)は、

であったので、これをモーメント母関数の定義式に代入すると、
指数関数のマクローリン展開より、

を得る。総和は、
E0＝M(0) ＝e－λ・eλ＝1
であり、平均は、

であり、二乗の平均は、

であるから、これらを代入して、分散：
V2＝E2 －2E1・E1 ＋E12・E0 ＝E2－E12 ＝λ2＋λ－λ2＝λ
を得る。
モーメント母関数を用いても、ポアソン分布の
3次以上のモーメントを導出するのは、煩雑である。
そこで、数式処理ソフト「Maxima」を利用して、
これらを計算する為のコマンドラインを以下に示す。
ここでは、θの代わりにt、λの代わりにuを用いた。 

poisson : taylor(exp(-u)*exp(u*exp(t)),t,0,4);
E0 : coeff(poisson, t, 0)*0!;
E1 : coeff(poisson, t, 1)*1!;
E2 : coeff(poisson, t, 2)*2!;
E3 : coeff(poisson, t, 3)*3!;
E4 : coeff(poisson, t, 4)*4!;
V2 : E2-2*E1*E1+E1^2*E0;
V3 : E3-3*E1*E2+3*E1^2*E1-E1^3*E0;
V4 : E4-4*E1*E3+6*E1^2*E2-4*E1^3*E1+E1^4*E0;
SKEW : V3/(sqrt(V2)^3);
KURT : V4/V2^2;
これに従って計算した結果（勿論そのままではなく、
多少の修正を施した）を、次の表に示す。
ポアソン分布 原点周り 平均値周り
0次のモーメント 1 1
1次のモーメント λ 0
2次のモーメント λ2＋λ λ
3次のモーメント λ3＋3λ2＋λ λ
4次のモーメント λ4＋6λ3＋7λ2＋λ 3λ2＋λ



正規分布（ガウス分布）の確率密度関数は、

であったので、これをモーメント母関数の定義式に代入すると、

を得る。指数部分を式変形して平方完成し、
xに依らない部分を分離すると、

となる。ここで、

と置くと、ガウス積分の公式より、

を得る。総和は、
E0＝M(0) ＝e0＋0＝1
であり、平均は、

であり、二乗の平均は、

であるから、これらを代入して、分散：
V2＝E2 －2E1・E1 ＋E12・E0 ＝E2－E12 ＝(σ2＋μ2) －μ2＝σ2
を得る。
モーメント母関数を用いても、正規分布（ガウス分布）の
3次以上のモーメントを導出するのは、煩雑である。
そこで、数式処理ソフト「Maxima」を利用して、
これらを計算する為のコマンドラインを以下に示す。
ここでは、θの代わりにt、μの代わりにm、 σの代わりにsを用いた。 

normal : taylor((exp(m*t+(s^2)*(t^2)/2)),t,0,4);
E0 : coeff(normal, t, 0)*0!;
E1 : coeff(normal, t, 1)*1!;
E2 : coeff(normal, t, 2)*2!;
E3 : coeff(normal, t, 3)*3!;
E4 : coeff(normal, t, 4)*4!;
V2 : E2-2*E1*E1+E1^2*E0;
V3 : E3-3*E1*E2+3*E1^2*E1-E1^3*E0;
V4 : E4-4*E1*E3+6*E1^2*E2-4*E1^3*E1+E1^4*E0;
SKEW : V3/(sqrt(V2)^3);
KURT : V4/V2^2;
これに従って計算した結果（勿論そのままではなく、
多少の修正を施した）を、次の表に示す。
正規分布 原点周り 平均値周り
0次のモーメント 1 1
1次のモーメント μ 0
2次のモーメント μ2＋σ2 σ2
3次のモーメント μ3＋3σ2μ 0
4次のモーメント μ4 ＋6σ2μ2＋3σ4 3σ4

標準正規分布：

のモーメント母関数もまた、
正規分布のモーメント母関数において、
平均値 μ＝0、分散 σ 2＝1とすることで、
M(θ)＝eθ2/2
が得られる。



「特性関数(characteristic function)」とは、モーメント母関数（積率母関数）M(θ)の定義式で、
虚数単位iを用いて、変数θをiξに形式的に置き換えたもの：

である。即ち、特性関数M(ξ)は、連続な確率密度関数f(x)の 「フーリエ変換」になっている。
となって、ξに関する展開の係数として、
次々に原点周りのn次のモーメント：Enを生み出す。
即ち、このM(ξ)をξでn回微分して、ξ＝0を代入しても、
機械的に、原点周りのモーメントが得られる。
二項分布（ベルヌーイ分布）、ポアソン分布、正規分布（ガウス分布）の
各分布のモーメント母関数（積率母関数）において、それぞれ、
変数θをiξに形式的に置き換えることによって、
二項分布（ベルヌーイ分布）の特性関数：
M(ξ)＝ (peiξ＋q)n
ポアソン分布の特性関数：
M(ξ)＝ eλ(eiξ－1)
正規分布（ガウス分布）の特性関数：

が得られる。



「キュムラント母関数(cumulant generating function)」には、モーメント母関数（積率母関数）M(θ)の
対数として定義される場合（こちらを以降「定義1」と呼ぶ）K(θ)：
「第2キュムラント母関数(second characteristic function)」と呼ばれることもあるようだ。 展開の係数κnをn次のキュムラント(cumulant)という。
記号expは、指数関数(exponential)のことで、eの肩が長いときによく用いられる。
特に、ポアソン分布や正規分布（ガウス分布）の様に、
モーメント母関数（積率母関数）M(θ)や
特性関数M(ξ)が、指数関数の形で表されるとき、 ポアソン分布のキュムラント母関数（定義1）：

或いは、ポアソン分布のキュムラント母関数（定義2）：

より、
κn＝λ　(n＝1, 2, 3, …)
となって、「ポアソン分布では、全てのキュムラントがλに等しい」ことが分かる。
また、正規分布（ガウス分布）のキュムラント母関数（定義1）：

： 或いは、正規分布（ガウス分布）のキュムラント母関数（定義2）：

より、
κ1＝μ,　 κ2＝σ2,　 κn＝0　(n ≥ 3)
となって、「正規分布（ガウス分布）は、
3次以上のキュムラントが0となる分布である」ということが分かる。



  1. 「キーポイント確率統計　理工系数学のキーポイント 6」（岩波書店、1993年） ※キュムラント母関数表記で、「定義1」が用いられている。
  2. 「SDVX e-amusement pass 666 紅刃モーメント (確率論) - Wikipedia」
  3. 「【値下げ可！！】河村電気　Ezライン分電盤　感震器付　14回路+5スペース積率母関数 - Wikipedia」
  4. 「ティファニー 1837 インターロッキング サークル ラリアット ネックレスキュムラント - Wikipedia」
  5. 「ノースフェイス ダウンジャケット レッド×ダークネイビー 150キュムラント母関数 - Wikipedia」


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